導(dǎo)語：如何才能寫好一篇高三數(shù)學(xué)課件，這就需要搜集整理更多的資料和文獻，歡迎閱讀由公文云整理的十篇范文，供你借鑒。

篇1

一、教材分析

(一)內(nèi)容說明

函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，中學(xué)數(shù)學(xué)對函數(shù)的研究大致分成了三個階段。

三角函數(shù)是最具代表性的一種基本初等函數(shù)。4.8節(jié)是第二章《函數(shù)》學(xué)習(xí)的延伸，也是第四章《三角函數(shù)》的核心內(nèi)容,是在前面已經(jīng)學(xué)習(xí)過正、余弦函數(shù)的圖象、三角函數(shù)的有關(guān)概念和公式基礎(chǔ)上進行的，其知識和方法將為后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)，有承上啟下的作用。

本節(jié)課是數(shù)形結(jié)合思想方法的良好素材。數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)研究中的重要思想方法和解題方法。

著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生的詩句：......數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休......可以說精辟地道出了數(shù)形結(jié)合的重要性。

本節(jié)通過對數(shù)形結(jié)合的進一步認(rèn)識，可以改進學(xué)習(xí)方法，增強學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心和興趣。另外，三角函數(shù)的曲線性質(zhì)也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱之美、和諧之美。

因此，本節(jié)課在教材中的知識作用和思想地位是相當(dāng)重要的。

(二)課時安排

4.8節(jié)教材安排為4課時,我計劃用5課時

(三)目標(biāo)和重、難點

1.教學(xué)目標(biāo)

教學(xué)目標(biāo)的確定，考慮了以下幾點：

(1)高一學(xué)生有一定的抽象思維能力，而形象思維在學(xué)習(xí)中占有不可替代的地位，所以本節(jié)要緊緊抓住數(shù)形結(jié)合方法進行探索;

(2)本班學(xué)生對數(shù)學(xué)科特別是函數(shù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)有畏難情緒，所以在內(nèi)容上要降低深難度。

(3)學(xué)會方法比獲得知識更重要，本節(jié)課著眼于新知識的探索過程與方法，鞏固應(yīng)用主要放在后面的三節(jié)課進行。

由此，我確定了以下三個層面的教學(xué)目標(biāo)：

(1)知識層面：結(jié)合正弦曲線、余弦曲線，師生共同探索發(fā)現(xiàn)正(余)弦函數(shù)的性質(zhì)，讓學(xué)生學(xué)會正確表述正、余函數(shù)的單調(diào)性和對稱性,理解體會周期函數(shù)性質(zhì)的研究過程和數(shù)形結(jié)合的研究方法;

(2)能力層面：通過在教師引導(dǎo)下探索新知的過程，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納的自學(xué)能力，為學(xué)生學(xué)習(xí)的可持續(xù)發(fā)展打下基礎(chǔ);

(3)情感層面：通過運用數(shù)形結(jié)合思想方法，讓學(xué)生體會(數(shù)學(xué))問題從抽象到形象的轉(zhuǎn)化過程，體會數(shù)學(xué)之美，從而激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心和興趣。

2. 重、難點

由以上教學(xué)目標(biāo)可知，本節(jié)重點是師生共同探索，正、余函數(shù)的性質(zhì)，在探索中體會數(shù)形結(jié)合思想方法。

難點是：函數(shù)周期定義、正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和對稱性的理解。

為什么這樣確定呢?

因為周期概念是學(xué)生第一次接觸，理解上易錯;單調(diào)區(qū)間從圖上容易看出，但用一個區(qū)間形式表示出來，學(xué)生感到困難。

如何克服難點呢?

其一，抓住周期函數(shù)定義中的關(guān)鍵字眼，舉反例說明;

其二，利用函數(shù)的周期性規(guī)律，抓住“橫向距離”和“k∈Z"的含義，充分結(jié)合圖象來理解單調(diào)性和對稱性

二、教法分析

(一)教法說明 教法的確定基于如下考慮：

(1)心理學(xué)的研究表明：只有內(nèi)化的東西才能充分外顯，只有學(xué)生自己獲取的知識，他才能靈活應(yīng)用，所以要注重學(xué)生的自主探索。

(2)本節(jié)目的是讓學(xué)生學(xué)會如何探索、理解正、余弦函數(shù)的性質(zhì)。教師始終要注意的是引導(dǎo)學(xué)生探索，而不是自己探索、學(xué)生觀看，所以教師要引導(dǎo)，而且只能引導(dǎo)不能代辦，否則不但沒有教給學(xué)習(xí)方法，而且會讓學(xué)生產(chǎn)生依賴和倦怠。

(3)本節(jié)內(nèi)容屬于本源性知識，一般采用觀察、實驗、歸納、總結(jié)為主的方法，以培養(yǎng)學(xué)生自學(xué)能力。

所以，根據(jù)以人為本，以學(xué)定教的原則，我采取以問題為解決為中心、啟發(fā)為主的教學(xué)方法，形成教師點撥引導(dǎo)、學(xué)生積極參與、師生共同探討的課堂結(jié)構(gòu)形式，營造一種民主和諧的課堂氛圍。

(二) 教學(xué)手段說明：

為完成本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，突出重點、克服難點，我采取了以下三個教學(xué)手段：

(1)精心設(shè)計課堂提問，整個課堂以問題為線索，帶著問題探索新知，因為沒有問題就沒有發(fā)現(xiàn)。

(2)為便于課堂操作和知識條理化，事先制作正弦函數(shù)、余弦函數(shù)性質(zhì)表，讓學(xué)生當(dāng)堂完成表格的填寫;

(3)為節(jié)省課堂時間，制作幻燈片演示正、余弦函數(shù)圖象和性質(zhì)，也可以使教學(xué)更生動形象和連貫。

三、學(xué)法和能力培養(yǎng)

我發(fā)現(xiàn)，許多學(xué)生的學(xué)習(xí)方法是：直接記住函數(shù)性質(zhì)，在解題中套用結(jié)論，對結(jié)論的來源不理解，知其然不知其所以然，應(yīng)用中不能變通和遷移。

本節(jié)的學(xué)習(xí)方法對后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)具有指導(dǎo)意義。為了培養(yǎng)學(xué)法，充分關(guān)注學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展，教師要轉(zhuǎn)換角色，站在初學(xué)者的位置上，和學(xué)生共同探索新知，共同體驗數(shù)形結(jié)合的研究方法，體驗周期函數(shù)的研究思路;幫助學(xué)生實現(xiàn)知識的意義建構(gòu)，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)和總結(jié)學(xué)習(xí)方法，使教師成為學(xué)生學(xué)習(xí)的高級合作伙伴。

教師要做到：

授之以漁，與之合作而漁，使學(xué)生享受漁之樂趣。 因此

1.本節(jié)要教給學(xué)生看圖象、找規(guī)律、思考提問、交流協(xié)作、探索歸納的學(xué)習(xí)方法。

2.通過本課的探索過程，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、交流、合作、類比、歸納的學(xué)習(xí)能力及數(shù)形結(jié)合(看圖說話)的意識和能力。

四、教學(xué)程序

指導(dǎo)思想是：兩條線索、三大特點、四個環(huán)節(jié)

(一)導(dǎo)入

引出數(shù)形結(jié)合思想方法，強調(diào)其含義和重要性，告訴學(xué)生，本節(jié)課將利用數(shù)形結(jié)合方法來研究，會使學(xué)習(xí)變得輕松有趣。

采用這樣的引入方法，目的是打消學(xué)生對函數(shù)學(xué)習(xí)的畏難情緒，引起學(xué)生注意，也激起學(xué)生好奇和興趣。

(二)新知探索 主要環(huán)節(jié)，分為兩個部分

教學(xué)過程如下：

第一部分————師生共同研究得出正弦函數(shù)的性質(zhì)

1.定義域、值域 2.周期性

3.單調(diào)性 (重難點內(nèi)容)

為了突出重點、克服難點，采用以下手段和方法：

(1)利用多媒體動態(tài)演示函數(shù)性質(zhì)，充分體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的重要作用;

(2)以層層深入，環(huán)環(huán)相扣的課堂提問，啟發(fā)學(xué)生思維，反饋課堂信息，使問題成為探索新知的線索和動力，隨著問題的解決，學(xué)生的積極性將被調(diào)動起來。

(3)單調(diào)區(qū)間的探索過程是：

先在靠近原點的一個單調(diào)周期內(nèi)找出正弦函數(shù)的一個增區(qū)間，由此表示出所有的增區(qū)間，體現(xiàn)從特殊到一般的知識認(rèn)識過程。

** 教師結(jié)合圖象幫助學(xué)生理解并強調(diào) “距離”(“長度”)是周期的多少倍

為什么要這樣強調(diào)呢?

因為這是對知識的一種意義建構(gòu)，有助于以后理解記憶正弦型函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)。

4.對稱性

設(shè)計意圖：

(1)因為奇偶性是特殊的對稱性，掌握了對稱性，容易得出奇偶性，所以著重講清對稱性。體現(xiàn)了從一般到特殊的知識再現(xiàn)過程。

(2)從正弦函數(shù)的對稱性看到了數(shù)學(xué)的對稱之美、和諧之美，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的審美功能。

5.最值點和零值點

有了對稱性的理解，容易得出此性質(zhì)。

第二部分————學(xué)習(xí)任務(wù)轉(zhuǎn)移給學(xué)生

設(shè)計意圖：

(1)通過把學(xué)習(xí)任務(wù)轉(zhuǎn)移給學(xué)生，激發(fā)學(xué)生的主體意識和成就動機，利于學(xué)生作自我評價;

(2)通過學(xué)生自主探索，給予學(xué)生解決問題的自主權(quán)，促進生生交流，利于教師作反饋評價;

(3)通過課堂教學(xué)結(jié)構(gòu)的改革，提高課堂教學(xué)效率，最終使學(xué)生成為獨立的學(xué)習(xí)者，這也符合建構(gòu)主義的教學(xué)原則。

(三)鞏固練習(xí)

補充和選作題體現(xiàn)了課堂要求的差異性。

(四)結(jié)課

五、板書說明 既要體現(xiàn)原則性又要考慮靈活性

1.板書要基本體現(xiàn)整堂課的內(nèi)容與方法，體現(xiàn)課堂進程，能簡明扼要反映知識結(jié)構(gòu)及其相互聯(lián)系;能指導(dǎo)教師的教學(xué)進程、引導(dǎo)學(xué)生探索知識;同時不完全按課本上的呈現(xiàn)方式來編排板書。即體現(xiàn)系統(tǒng)性、程序性、概括性、指導(dǎo)性、啟發(fā)性、創(chuàng)造性的原則;(原則性)

2.使用幻燈片輔助板書，節(jié)省課堂時間，使課堂進程更加連貫。(靈活性)

六、效果及評價說明

(一)知識診斷

(二)評價說明

1.針對本班學(xué)生情況對課本進行了適當(dāng)改編、細化，有利于難點克服和學(xué)生主體性的調(diào)動。

2. 根據(jù)課堂上師生的雙邊活動，作出適時調(diào)整、補充(反饋評價);根據(jù)學(xué)生課后作業(yè)、提問等情況，反復(fù)修改并指導(dǎo)下節(jié)課的設(shè)計(反復(fù)評價)。

篇2

高考數(shù)學(xué)重點考查學(xué)生的能力，而這種能力是以整體的、完善的知識結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)的。有人認(rèn)為高三復(fù)習(xí)課由于時間緊、內(nèi)容多只好采用“大容量，快節(jié)奏”的方式。于是高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課往往存在下面五方面的問題：一是重視課堂任務(wù)的完成，忽視學(xué)生聽課的感受；二是重視常規(guī)工作的完成，忽視課前的充分準(zhǔn)備；三是以教師思維代替學(xué)生思維，忽視學(xué)生學(xué)習(xí)的能動性；四是重視知識的注入、疊加、再現(xiàn)，忽視非智力因素對學(xué)習(xí)的影響；五是追求應(yīng)試效果、強化訓(xùn)練和解題技巧的指導(dǎo)過多，學(xué)生自主探究知識的學(xué)習(xí)太少。

事實上，為了高效率地完成總復(fù)習(xí)的繁重任務(wù)，更應(yīng)該講究復(fù)習(xí)教學(xué)的科學(xué)性和有效性。教師要始終堅持以學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)的教學(xué)原則。復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)課不能由教師包講，更不能成為教師展示自己解題能力的表演，而要還給學(xué)生課堂的空間，讓學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主人。作為數(shù)學(xué)教師，如何讓學(xué)生在課堂上“動”起來、“忙”起來？如何更好地提高復(fù)習(xí)效率？

高中生的抽象邏輯思維屬于理論型，他們基本上可以掌握辯證思維（一般到特殊的演繹過程，特殊到一般的歸納過程），能夠用理論作指導(dǎo)來分析，綜合各種事實材料，擴大自己的知識領(lǐng)域。在情感方面，高中階段，獨立性、自主性是情感發(fā)展的主要特征。學(xué)生的意志行為愈來愈多，他們追求真理、正直。高層自我調(diào)控在行為控制中占主導(dǎo)地位，一切外界因素只有內(nèi)化為自我調(diào)控時才能發(fā)揮其作用。就像“洋思中學(xué)”的蔡林森校長所說的：（1）學(xué)生能不能成才不是教師教出來的，是他自己學(xué)出來的。（2）教師進課堂的任務(wù)不是去講，而是組織學(xué)生學(xué)。（3）什么叫完成教學(xué)任務(wù)？學(xué)生學(xué)會了才叫完成教學(xué)任務(wù)。

根據(jù)我校學(xué)生基礎(chǔ)比較薄弱，層次差異大、回家學(xué)習(xí)不自覺的實際學(xué)情，我校將課堂教學(xué)現(xiàn)實的努力方向確立為：向課堂45分鐘要質(zhì)量，力求打造適合我校學(xué)情的高效課堂模式“30+15”（即教師講課不得超過30分鐘，學(xué)生練習(xí)消化不得少于15分鐘）。

經(jīng)過近兩年多來課堂教學(xué)實踐，挖掘其中的教學(xué)規(guī)律，我覺得在高三數(shù)學(xué)課實施“30+15”課堂教學(xué)模式需要注意以下幾個問題：

一、連節(jié)課如何合理安排講練時間，充分調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和主動性

高三數(shù)學(xué)課大部分都是連節(jié)（一周三次），如果兩節(jié)課都采用“30+15”課堂教學(xué)模式，這樣上下來，不僅學(xué)生會覺得累，連老師都會覺得體力透支。怎么來合理地分配那90分鐘，盡量不要浪費一分一秒，值得我們深思。注意規(guī)律理論指出，任何人的注意不可能以同樣強度維持20分鐘以上。教師應(yīng)該運用有意注意的規(guī)律合理組織教學(xué)活動，經(jīng)常進行學(xué)習(xí)目的性教育，明確為什么學(xué)習(xí)，每一部分學(xué)習(xí)內(nèi)容的具體要求是什么？目的越明確，注意就越容易集中。根據(jù)兩種注意（有意注意與無意注意）轉(zhuǎn)換的規(guī)律特點，結(jié)合自己平時聽課的感受（前面剛開始聽得很認(rèn)真，中間沒心思聽，快下課又很認(rèn)真聽），我把第一節(jié)課45分鐘分配成20（教師講）+15（學(xué)生練）+10（教師講），第二節(jié)課的45分鐘分配成5（教師講）+30（學(xué)生練，主要是小測）+10（教師點評小測）。

二、如何做到精講精練

新課改后數(shù)學(xué)每學(xué)期的教學(xué)任務(wù)都很繁重，特別是高三的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)，在短短不到一年時間要復(fù)習(xí)10本書。教師講的時間又減少，這就要求教師要做到精講精練。例題是數(shù)學(xué)教學(xué)的靈魂。在平時的備課當(dāng)中，我堅守兩個原則：

（1）選題要突出一個“精”字。設(shè)計的試題一般有：

①類比型試題：通過尋同辨異，加深理解。例如可以通過尋找它們的共同點及分析它們的不同之處，在對比中加深理解，達到對知識的鞏固。

②變式型試題：

例如：教材104頁例3

變換視角：已知橢圓+=1的焦點為，點P為橢圓上的動點，當(dāng)為鈍角時，求點P的橫坐標(biāo)的取值范圍。

變換條件：已知橢圓+=1的焦點為，點P為橢圓上的動點，當(dāng)為直角三角形時，求點P的坐標(biāo)。

開放條件：已知橢圓+=1（a>b>0），

變式①點P為橢圓上的動點，當(dāng)點P在何處時∠F1PF2最大？

變式②試問橢圓上是否存在點P，使若存在，這樣的點P有幾個？不存在，說明理由。

通過變換視角、變換條件、開放條件，可以擺脫學(xué)生一味機械地模仿，克服思維定勢，拓寬思維，培養(yǎng)思維的靈活性、嚴(yán)密性和深刻性，加強對基本概念的理解。

③問題鏈型試題：例題是一節(jié)課的靈魂，是能否突破知識重點難點的關(guān)鍵，例題設(shè)計要有層次性，能誘敵深入逐本求源，可以通過變換視角、變換條件、開放條件等手段，讓學(xué)生在探究中感悟到高考題是以不變之本，應(yīng)萬變之體，克服習(xí)慣上的思維定勢，拓寬思路，培養(yǎng)思維的靈活性、嚴(yán)密性和深刻性，進一步加強對基礎(chǔ)知識、基本技能的理解。

（2）設(shè)計練習(xí)突出一個“準(zhǔn)”字

設(shè)計練習(xí)要求：

a.難度小一點：難度要適中。太難，容易使學(xué)生產(chǎn)生畏難情緒，做而生煩；太淺，容易產(chǎn)生松懈怠慢心理，也不利于個性品質(zhì)的培養(yǎng)。

b.考點準(zhǔn)一點：要緊扣復(fù)習(xí)要求、重難點，要突出一個“準(zhǔn)”字。

c.概括性強一點：應(yīng)具有多種功能，有一定的概括性、典型性、代表性，能培養(yǎng)一定的數(shù)學(xué)能力。

三、適合自己學(xué)生的方法才是好方法

一堂課是不是有效課？我覺得最關(guān)鍵的是有沒有適合自己的學(xué)生。在復(fù)習(xí)求圓的方程時，我先在3班授課，講了三道例題，一道是已知圓上兩點和圓心所在的一直線方程，求圓的方程；一道是已知圓上三點求圓的方程；一道是已知切點和對應(yīng)的切線方程，和圓心所在的一直線方程求圓的方程。我讓學(xué)生先做了15分鐘，講評時把收集到的學(xué)生的方法展示出來，所以每道題都有2-3種解法。原本對自己的這堂課很滿意，但下課時有位學(xué)生給我提了個建議說：“老師，方法多了學(xué)生會亂，剛才三道題有一個共同的解法，先求圓心后求半徑，主要教我們這個就行啦”。我把他的建議到4班實行，感覺學(xué)生好像掌握得比較好。教學(xué)活動是個動態(tài)的過程，它必須通過教師和學(xué)生之間的信息聯(lián)系和信息反饋，才能實現(xiàn)控制和調(diào)節(jié)。每一堂課都有預(yù)定的目標(biāo)要求和實施方案，但在實施過程中，教師必須了解是否符合學(xué)生的實際，選用的方法是否切合學(xué)生的知識基礎(chǔ)和認(rèn)知條件，這樣才能達到我們真正的教學(xué)目的。

篇3

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)；高效課堂；動心；動情；動身

中圖分類號：G623.5 文獻標(biāo)志碼：A 文章編號：1008-3561（2016）34-0082-01

在提倡素質(zhì)教育的今天，學(xué)生的主體地位得到充分的提高。學(xué)生是課堂的第一主體，是高效課堂成敗的首要因素。以往數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)內(nèi)容，主要框定在數(shù)學(xué)教師的教學(xué)活動之內(nèi)，忽視數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的高效性。老師是“水桶”，學(xué)生是“水碗”，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)就是“灌水”的過程。數(shù)學(xué)教師教得特別辛苦，學(xué)生學(xué)得也特別痛苦，漸漸地，學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生了逆反心理，對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)漸漸地失去興趣。因此，教師必須要改變以往陳舊的教學(xué)模式，要尊重學(xué)生的主體地位，要讓學(xué)生不再“痛苦地學(xué)習(xí)”，從“要我學(xué)”變?yōu)椤拔乙獙W(xué)”。要改變學(xué)生厭煩學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的觀念，實現(xiàn)數(shù)學(xué)課堂的有效性，教師必須做到“三動”。

一、動心

何謂動心？動心即要學(xué)生真心地喜歡學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，對數(shù)學(xué)產(chǎn)生興趣。于漪曾說過：“課的第一錘要敲在學(xué)生的心靈上，激發(fā)起他們思維的火花，或像磁石一樣把學(xué)生牢牢地吸引住?！崩纾虒W(xué)“能被3整除的數(shù)的特征”時，教師可以先跟學(xué)生來一個比賽。讓學(xué)生隨便說出一個數(shù)，教師迅速地回答這個數(shù)是否能被3整除。學(xué)生便覺得奇怪：老師怎么會如此快速準(zhǔn)確地計算出來呢？這引起學(xué)生的求知欲，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，吸引其注意力，使其在整節(jié)課都認(rèn)真地學(xué)習(xí)老師傳授的方法。一節(jié)課下來，學(xué)生不但不感覺累，反而學(xué)習(xí)興趣高漲，教學(xué)重難點得到突破，達到預(yù)期的教學(xué)目標(biāo)，實現(xiàn)有效教學(xué)。

二、動情

感情是最難捉摸的東西，倘若學(xué)生對數(shù)學(xué)產(chǎn)生了感情，便會越發(fā)地喜歡學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和熱愛數(shù)學(xué)，實現(xiàn)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的有效性。

（1）以情感人。數(shù)學(xué)課堂不像語文課堂具有一定的激情，能讓學(xué)生專注于學(xué)習(xí)課文，體會當(dāng)中的含義，但數(shù)學(xué)課堂也能做到以情感人，讓學(xué)生專注于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、熱愛數(shù)學(xué)。例如，教學(xué)蘇教版四年級數(shù)學(xué)下冊“了解我們的生存空間”時，可以帶領(lǐng)學(xué)生回憶動畫片《熊出沒》，讓學(xué)生回憶熊大、熊二保護森林，得知樹被砍掉后傷心地為樹唱最后一曲的故事，讓學(xué)生感受熊大、熊二與樹之間無比真摯的感情。然后告訴學(xué)生，假如樹被砍掉是為了制造賀卡，請計算一棵樹大概可以制作多少張賀卡。借這個故事教育學(xué)生要好好保護樹木，不要隨意浪費紙張。因為這是小鳥的好朋友樹犧牲自己換來的，我們更應(yīng)好好珍惜。一節(jié)課下來，學(xué)生們深受感動，認(rèn)真計算賀卡所消耗樹木的數(shù)量，清晰地明白要珍惜友誼和保護樹木，節(jié)約用紙。這樣，能讓學(xué)生有效地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識，領(lǐng)悟人生道理。

（2）以美動人。教學(xué)充滿美感，才能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情。數(shù)學(xué)老師不能讓學(xué)生為了學(xué)數(shù)學(xué)而學(xué)數(shù)學(xué)，一定要充分挖掘數(shù)學(xué)教材中一切可以運用的素材，讓數(shù)學(xué)知識變得生動。如教學(xué)四年級“搭配的規(guī)律”時，教師在引出問題后，依次出示美術(shù)中顏色的搭配、音樂中音符的搭配、生活中衣服的搭配等等。這能使學(xué)生感受到顏色的鮮艷、音樂的柔美，讓數(shù)學(xué)融入到各個學(xué)科和生活中，感受來自不同學(xué)科的美，真正體會到數(shù)學(xué)無處不在，感受數(shù)學(xué)的美，體會數(shù)學(xué)的魅力。又如在教學(xué)“百分?jǐn)?shù)的意義”一課后，教師先讓學(xué)生靜靜地欣賞一首詩：“一蓑一笠一葉舟，一支竹竿一條鉤。一山一水一輪月，一人獨釣一江秋。”教師讓學(xué)生沉浸在詩歌的美感之中，然后讓學(xué)生數(shù)一下這詩中一共用了多少個“一”字，“一”字占這首詩總字?jǐn)?shù)的百分之幾，“一”字在這首詩里面起了什么作用。這樣的練習(xí)，不僅能夠激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，而且還鞏固了這節(jié)課所學(xué)習(xí)到的知識。

三、動身

動身，即要求教師在課堂上盡量引導(dǎo)學(xué)生能較好地動口、動腦和動手，讓學(xué)生全身心參與到數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)過程之中。數(shù)學(xué)教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中一定要引導(dǎo)學(xué)生動手、動腦、動口，從而使學(xué)生所學(xué)的數(shù)學(xué)知識掌握得更牢固。這是深化學(xué)生對數(shù)學(xué)概念理解的有效教學(xué)手段，也是優(yōu)化數(shù)學(xué)課堂教學(xué)、提高教學(xué)質(zhì)量的有效途徑。數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動不能單純地依賴模仿與記憶，動手實踐、自主探索與合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式。所以，在教學(xué)過程中，教師必須充分調(diào)動學(xué)生動手、動腦和動口能力，讓其全身參與到數(shù)學(xué)課堂中。例如，講述“三角形內(nèi)角和”時，先讓學(xué)生使用量角器測量一下三角形任意兩個內(nèi)角的度數(shù)，然后告訴教師，教師迅速說出另一個內(nèi)角的度數(shù)。這引起學(xué)生的質(zhì)疑，好奇老師是怎么知道的。在這種情況下，教師開始教學(xué)。這種動手、動腦和動口的引入，可以讓學(xué)生從無意注意向有意注意轉(zhuǎn)變，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的動力。又如，在有關(guān)路程的應(yīng)用題教學(xué)中，教師先讓學(xué)生讀熟題目，弄清題意，明白題目給出的已知條件。然后，再讓學(xué)生畫出線路圖，便于學(xué)生理清思路，利用圖文結(jié)合來解決問題。教師要最大限度地讓每一位學(xué)生都能開口說說自己對應(yīng)用題的理解和分析，以說促思，同時也可集思廣益，發(fā)散創(chuàng)造性思維。要通過數(shù)學(xué)教學(xué)，充分培養(yǎng)學(xué)生的動手、動腦和動口能力，讓學(xué)生真正全身心投入到學(xué)習(xí)之中。

參考文獻：

篇4

關(guān)鍵詞：“三五X”教學(xué)模式；學(xué)習(xí)效率

中圖分類號：G632 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1002-7661（2013）01-187-01

對學(xué)生來說學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要目的就是學(xué)會用數(shù)學(xué)的方式思考，用數(shù)學(xué)的眼光去看世界，用數(shù)學(xué)的邏輯分析事件的前因后果。如何有效利用課堂教學(xué)時間，如何盡可能地提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，我認(rèn)為“三五X”教學(xué)模式既符合素質(zhì)教育理念，又從根本上改變了數(shù)學(xué)教學(xué)中存在的“少慢差費，高耗低效”的教學(xué)現(xiàn)狀，更可以實現(xiàn)教師的教學(xué)行為和學(xué)生學(xué)習(xí)方式的質(zhì)的轉(zhuǎn)變，教學(xué)過程中凸顯同步訓(xùn)練，點上深化，面上擴展，全面提升的新思路，真正實現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)的高效性。

一、加強新教學(xué)模式的理論學(xué)習(xí)和嘗試，教學(xué)中努力踐行“三五X”高效課堂教學(xué)模式

所謂“三五X”高效課堂教學(xué)模式就是指三個目標(biāo)，五個指標(biāo)，多種模式。三個目標(biāo)就是在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的三種學(xué)習(xí)能力，即自主學(xué)習(xí)，合作學(xué)習(xí)和探索學(xué)習(xí)。五個指標(biāo)是指課堂評價的五項標(biāo)準(zhǔn)，即學(xué)生自主學(xué)習(xí)的時間每節(jié)課應(yīng)保持在30—32分鐘為宜；學(xué)生個體主動學(xué)習(xí)的參與率應(yīng)達到學(xué)生總?cè)藬?shù)的60%左右；課堂練習(xí)應(yīng)實現(xiàn)數(shù)量合理，講練結(jié)合，難度適中，層次科學(xué)；學(xué)生主動參與課堂活動的興奮度應(yīng)達到80%，絕大多數(shù)學(xué)生以飽滿熱情，積極地參與課堂活動，并有所收獲；學(xué)生學(xué)習(xí)目標(biāo)效果測試面和測試成果應(yīng)達到80%以上?！癤”則是指各任課教師根據(jù)學(xué)生的實際情況，學(xué)科特點，區(qū)域差異，教師授課經(jīng)驗及特長等實際情況而采用各具特色的教學(xué)方式，這一方面體現(xiàn)了課改的新理念、新思路，另一方面又體現(xiàn)了教學(xué)過程中差異性，多樣性的學(xué)科特點。

新課程標(biāo)準(zhǔn)明確要求教師從從片面注重知識傳授轉(zhuǎn)變?yōu)樽⒅貙W(xué)生學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)，教師不僅要關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的結(jié)果，更重要的是要關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，促進自主學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生探索學(xué)習(xí)，讓學(xué)生親歷、感受、理解感悟知識推導(dǎo)過程，注重學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)和創(chuàng)新能力的提高，重視學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展和健全人格的塑造。教師必須轉(zhuǎn)變角色，更新觀念，加強業(yè)務(wù)學(xué)習(xí)，以新課程理念為行動指南，真正做到由注入式教學(xué)轉(zhuǎn)變?yōu)閱l(fā)式，學(xué)生由被動的聽課轉(zhuǎn)變?yōu)橹鲃訁⑴c，由單純的講授知識轉(zhuǎn)變?yōu)橹R和能力并重，共性與個性結(jié)合。 “三五X”高效課堂教學(xué)模式有著嚴(yán)密的內(nèi)在邏輯關(guān)系。高效課堂實現(xiàn)的目標(biāo)，實現(xiàn)的手段和實現(xiàn)的途徑與方法有機的結(jié)合在一起，這既實現(xiàn)了教學(xué)的總體目標(biāo)，又承認(rèn)城鄉(xiāng)差別，個體差異，學(xué)科差異等不可回避的現(xiàn)實問題。

二、明確教學(xué)目標(biāo)，準(zhǔn)確把握學(xué)習(xí)重難點

“三五X”高效課堂教學(xué)模式明確提出教師必須優(yōu)化課堂教學(xué)設(shè)計，從學(xué)生發(fā)展的角度出發(fā)，從有利于學(xué)生能力培養(yǎng)和知識掌握方面出發(fā)對課堂教學(xué)活動進行科學(xué)合理的安排。數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)分為三大領(lǐng)域，即認(rèn)識領(lǐng)域、情感領(lǐng)域和動作技能領(lǐng)域，所以教師備課時應(yīng)圍繞三維目標(biāo)選擇教學(xué)策略和方法，并對教學(xué)內(nèi)容進行科學(xué)合理的整合。備課應(yīng)以課標(biāo)為依據(jù)以教材為藍本，以學(xué)生認(rèn)知能力為基礎(chǔ)，從不同層次出發(fā)活用教材，對于學(xué)生掌握的教師不要講解，對于學(xué)生完全不能掌握的不要講解。

教學(xué)中為了使學(xué)生明確本課學(xué)習(xí)的重、難點，教師在講授新課前應(yīng)將重、難點簡要地寫出來，并用彩色粉筆進行標(biāo)注，以便引起學(xué)生注意。教師講解難點時可通過手勢語、聲音高低變化、板書、Flas、多媒體幻燈片等方式刺激學(xué)生大腦提高學(xué)生興奮度，使學(xué)生對所學(xué)內(nèi)容留下深刻印象。

三、建立和諧的師生關(guān)系，充分發(fā)揮學(xué)生主體作用，調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性

只有建立民主、平等的師生關(guān)系，積極創(chuàng)設(shè)和諧、激情的課堂氛圍，才能增強師生之間的教學(xué)互動，改變教師與學(xué)生之間單向的教學(xué)互動。只有建立一種有效的雙向或多向的師生教學(xué)互動，才能使師生、生生之間多層次的互動和交流富有成效，使學(xué)生掌握知識，發(fā)展能力。師生間的互動交往不追求形式上的熱鬧，而應(yīng)追求實實在在的質(zhì)量和效果。

學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師要圍繞著學(xué)生展開教學(xué)。在教學(xué)過程中，自始至終讓學(xué)生唱主角，使學(xué)生變被動學(xué)習(xí)為主動學(xué)習(xí)，讓學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主人，教師成為學(xué)習(xí)的領(lǐng)路人。在上課過程中教師盡量少講，對于一些問題可以讓學(xué)生充當(dāng)教師的身份給其他學(xué)生講解。學(xué)生的思維本身就是一個資源庫，學(xué)生往往會想出教師意想不到的解題思路和方法。

四、教學(xué)過程中要勤分析，善反思，做一名反思型教師。

篇5

關(guān)鍵詞：新課程；糾錯；數(shù)學(xué)

我們在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中，往往會遇到學(xué)生解題時出現(xiàn)的形形的錯誤，面對這些錯誤，傳統(tǒng)的做法是直接把正確的答案教給學(xué)生，因為這樣可以節(jié)省教學(xué)時間，增加課堂的密度和強度． 但不久便發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的錯誤又死灰復(fù)燃，有時甚至屢次犯下同樣的錯誤，使不少高三教師感到十分頭痛． 怎樣才能使學(xué)生的錯誤越變越少呢？作為高三的一線教師，筆者在教學(xué)實踐中深切感受到只有在新課程理念的指導(dǎo)下，突破課堂的傳統(tǒng)模式，塑造一種“溝通、理解、探索、創(chuàng)新”的教學(xué)過程，從學(xué)生的角度去模擬錯誤的情境，體驗錯誤的原因，探索改錯的方法，提出防范的措施，師生之間才能產(chǎn)生思維的共振和情感的共鳴，糾錯教學(xué)才會做到有的放矢，深入人心． 下面筆者結(jié)合自己的教學(xué)經(jīng)驗，談一些感悟和體會，以供參考．

■正確認(rèn)識學(xué)生的錯誤

學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中產(chǎn)生的錯誤是有價值的，數(shù)學(xué)教師要允許學(xué)生犯錯誤，但也要幫助學(xué)生改正錯誤，更要以一種開放、寬容的態(tài)度看待犯錯誤的學(xué)生．

1． 錯誤的價值．

在數(shù)學(xué)探究活動中，錯誤可能接連發(fā)生，也許正是這些錯誤在引領(lǐng)學(xué)生進行思想的漂泊和探險，獲得了在平坦的大路上難以見到的景致；也許正是學(xué)生經(jīng)歷了一次次錯誤的探險，感受到心理的挫折、驚喜與頓悟，才從中獲得了質(zhì)疑、反思與多向思維的創(chuàng)新品質(zhì)．

2. 錯誤的合理性．

高三學(xué)生產(chǎn)生錯誤，并不完全是粗心或是沒有好好學(xué)所造成的． 很多錯誤的產(chǎn)生是有理由、有規(guī)律的，具有一定的合理性． ?搖

3. 產(chǎn)生錯誤的原因分析

（1）知識“斷鏈”，我們通常稱之為“忘記”． （2）曲解意義，即錯誤地或片面地理解某些概念或結(jié)論，并做出不恰當(dāng)?shù)念惐群瓦w移，從而導(dǎo)致錯誤． （3）認(rèn)知障礙，指學(xué)習(xí)者已有一些知識，這些知識一方面是進一步學(xué)習(xí)、理解的基礎(chǔ)，但因包括有錯誤的或不夠全面的成分，從而就有可能妨礙新知識的建立和運用． （4）學(xué)生解題過程中思考不到位，對題目的“無思、偏思、淺思”造成了解題的不完善．

■糾錯教學(xué)的流程

課堂糾錯教學(xué)的流程是“出錯――發(fā)現(xiàn)――探究――進步”． 高三數(shù)學(xué)課堂是個隨時會出現(xiàn)錯誤而且允許學(xué)生犯錯的地方，真實的數(shù)學(xué)課堂正是因“出錯――發(fā)現(xiàn)――探究――進步”的良性循環(huán)而充滿活力．

■糾錯教學(xué)的實踐與思考

1． 感悟方法讓“錯”出彩

由于高三學(xué)生的知識背景、思維方式、情感體驗等方面的不同，學(xué)習(xí)中難免會出現(xiàn)各種各樣的錯誤． 教師若能慧眼識真金，讓學(xué)生充分展示思維過程，顯露錯誤中的“閃光點”，給予肯定和欣賞，并順著學(xué)生的思路將“合理成分”激活，讓智慧光芒噴薄而出，讓錯出彩．

案例1：已知函數(shù)f（x）=x2+2x+alnx，（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1］上恒為單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；（2）當(dāng)t≥1時，不等式f（2t－1）≥2f（t）－3恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

此題是高三復(fù)習(xí)卷上的一題，主要考查利用導(dǎo)數(shù)知識，研究函數(shù)的單調(diào)性，處理不等式恒成立問題，綜合性強，思想方法深刻，能力要求較高．

學(xué)生的歪打正著：構(gòu)造函數(shù)g（t）=f（2t－1）－［2f（t）－3］（t≥1），注意到g（1）=0，所求問題轉(zhuǎn)化為g（t）≥g（1）對任意的t∈［1，+∞）恒成立． 即g（t）在［1，+∞）上為增函數(shù)，從而g′（t）≥0在t∈［1，+∞）上恒成立，而g′（t）=2［f′（2t－1）－f′（t）］，故f′（2t－1）>f′（t）在t∈［1，+∞）恒成立，由于（2t－1）－t=t－1≥0，即2t－1≥t，故f′（t）在［1，+∞）上為增函數(shù)．令h（t）=f′（t），則h′（t）=2－■≥0當(dāng)t∈［1，+∞）時恒成立，即a≤2t2，從而a≤（2t2）min=2，故實數(shù)a的取值范圍為a≤2．

解答的結(jié)果與正確答案完全一致，乍一看似乎簡潔明了，無懈可擊，但仔細分析，不難發(fā)現(xiàn)其中的破綻：“由g（t）≥g（1）對任意的t∈［1，+∞）恒成立． 直接推出g（t）在［1，+∞）上為增函數(shù)”此推理不一定成立． 如圖1所示：

雖然此解法歪打正著，但它為正確求解提供了有意的啟示．

師生合作共探的解法：構(gòu)造函數(shù)g（t）=f（2t－1）－［2f（t）－3］（t≥1），注意到g（1）=0，所求問題轉(zhuǎn)化為g（t）≥g（1）對任意的t∈［1，+∞）恒成立．因為g′（t）=2［f′（2t－1）－f′（t）］=2（t－1）2－■（t≥1）． 當(dāng)a≤2時，由于t（2t－1）≥1，故g′（t）≥0，從而g（t）在［1，+∞）上為增函數(shù)． g（t）≥g（1）對任意的t∈［1，+∞）恒成立． 當(dāng)a>2，g′（t）=■=■．

因為■

?搖?搖此解法思路自然，過程清晰，這樣在學(xué)生錯誤的思路上做適當(dāng)修正，既保護了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，又能激活其合理的成分，以促進學(xué)生的思維朝著正確、完美的方向發(fā)展，從而對數(shù)學(xué)的推理的嚴(yán)密性以及等價轉(zhuǎn)化思想有了更深刻的領(lǐng)悟．

2. 將錯就錯，開拓思維空間．

學(xué)生在真正學(xué)習(xí)新知識之前，需要對根深蒂固的錯誤觀念進行重組，因為這些錯誤觀念會干擾新的學(xué)習(xí)． 克服錯誤觀念對新知識學(xué)習(xí)的排斥的唯一可能解決方法是迫使學(xué)生去正確面對他們的錯誤與所學(xué)知識之間的矛盾． 學(xué)生每遭遇并克服一次錯誤，學(xué)生的已有智慧結(jié)構(gòu)就會呈現(xiàn)一種螺旋遞升的狀態(tài)，有了一次重組的可能，從而實現(xiàn)創(chuàng)新思維．

案例2：已知無窮數(shù)列｛an｝的前n項和Sn=■（an+2）2，滿足題設(shè)的數(shù)列｛an｝有多少個？證明你的結(jié)論．

這是一道數(shù)列復(fù)習(xí)課上的例題，經(jīng)過一番探索和思考，大多數(shù)學(xué)生得到了以下解法：由Sn=■（an+2）2，得Sn+1=■（an+1+2）2，故Sn+1－Sn=■（an+1+2）2－■（an+2）2，即8an+1=a■+4an+1－a■－4an，整理得（an+1+an）（an+1－an－4）=0，故an+1+an=0或an+1－an=4． 在題設(shè)中，令n=1，即a1=■（a1+2）2，得a1=2，于是數(shù)列｛an｝是以2為首項，公比為-1的等比數(shù)列或公差為4的等差數(shù)列． 所以an=2（－1）n-1或an=4n－2．

至此，大家似乎都覺得可以完美收場了，但筆者詭異的微笑卻誘發(fā)了一些敏感學(xué)生的質(zhì)疑． 不久，果真有學(xué)生另辟蹊徑：令n=1，得a1=2；令n=2，得a2= －2，6；令n=3，得a3=2，－6，10． 這樣已得出至少3個數(shù)列，按照這種方法可以大膽預(yù)測：滿足題設(shè)的數(shù)列｛an｝有無數(shù)個．

此時此刻，平靜的課堂一下子沸騰了，大家覺得前面的解法似乎有問題，但一下子又很難發(fā)現(xiàn)其中的破綻． 此時可以引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)在從特殊到一般的探究過程中，“an+1+an=0或a■－a■=4”不一定對任意n都成立，即數(shù)列｛an｝不一定是等比數(shù)列，也不一定是等差數(shù)列． 如舉例前4項有（1）2，－2，2，－2，…；（2） 2，6，10，14，…；（3） 2，－2，2，6，…；（4）2，6，－6，－2，…；（5）2，6，10，－10，…．可見，滿足題設(shè)的數(shù)列｛an｝有無數(shù)個．

怎樣防止類似的錯誤？通過討論大家共同認(rèn)為：對數(shù)學(xué)問題中的“關(guān)鍵詞”，如“或、且、非、至多、至少”等，首先一定要通過分類列舉、數(shù)形結(jié)合思想以及從特殊到一般的策略，對隱含的數(shù)學(xué)含義進行深入的分析和鑒定，弄清其真正的內(nèi)涵和實質(zhì)再實施解題研究，其次應(yīng)注意變形、代換的等價性． 可見，讓 學(xué)生充分暴露錯誤的過程，“將錯就錯”，是探索糾錯方法的前提，在此基礎(chǔ)上，總結(jié)得出解題的一般規(guī)律，學(xué)生才會構(gòu)建起屬于自己的正確認(rèn)識．

3. 合理設(shè)錯，多向交流，發(fā)展思維

（1）“設(shè)錯”的原則． 教學(xué)過程中“設(shè)錯”應(yīng)講究自然、講究方法、講究場合，歸根結(jié)底要講究教學(xué)實效，絕不能為了刻求某種教學(xué)模式而故弄玄虛． 一般來說，“設(shè)錯”應(yīng)遵循以下三個原則． ①時機性原則．“設(shè)錯”的時機性原則，就是在教學(xué)活動過程中，不能不分場合、隨心所欲地來設(shè)置所謂的錯誤讓學(xué)生討論、辨別，而是要在適當(dāng)時機，根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度、知識水平、思維習(xí)慣等具體情況，有目的、有針對性地“設(shè)錯”． ②迷惑性原則． “設(shè)錯”的迷惑性原則，就是教學(xué)活動過程中，所設(shè)置的錯誤既是學(xué)生容易出現(xiàn)的，也是學(xué)生難以辨別的問題，它看似正確，實則錯誤，正負(fù)模棱兩可，具有一定的迷惑性． ③多樣性原則． “設(shè)錯”的多樣性原則，就是在教學(xué)過程中，既要包括“設(shè)錯”內(nèi)容的多樣性，又要包括“設(shè)錯”形式的多樣性．

（2）“設(shè)錯”的技巧．無論是新課起始的“設(shè)錯”，新課進行中的“設(shè)錯”，還是新課結(jié)束后的“設(shè)錯”，都要面向全體學(xué)生提出，要盡可能給不同層次的學(xué)生創(chuàng)設(shè)分層次的最佳“糾錯”機會． 問題提出后，要給全體學(xué)生留有思維的機會和時間，使每個學(xué)生有一個“思考――糾錯”的過程，同時對每一位學(xué)生的“糾錯”都要給予適度的評價． “設(shè)錯”難度要講究藝術(shù)．“設(shè)錯”難度的掌握要講究分寸，既要符合課程對知識的要求，又要不脫離學(xué)生的實際認(rèn)知水平；既要高于學(xué)生原有的知識水平，又要使他們經(jīng)過努力后力所能及，同時，“糾錯”方式要靈活多樣．

案例3：設(shè)z=2x+y，式中變量x，y滿足下列條件4≤x+y≤6…（1）2≤x－y≤4…（2）求z的最大值和最小值．

這是線性規(guī)劃復(fù)習(xí)課的引入，學(xué)生經(jīng)過探討和辨析，形成了兩個方案：

學(xué)生解法1：由（1）+（2）得6≤2x≤10…（3），由（2）得－4≤y－x≤－2（4）.

由（1）+（4）得0≤y≤2，因而得到6≤2x+y≤12，所以zmin=6，zmax=12．

學(xué)生解法2：由（1）得到6≤■（x+y）≤9，由（2）得到1≤■（x－y）≤2，從而7≤2x+y≤11，所以zmin=7，zmax=11．

兩種解法都是將不等式變形，之所以結(jié)論不一致估計是沒有等價變形，但又說不清楚問題到底出在哪里？這時候，教師就可以不失時機提問：既然從不等式變形的角度不能十分合理地解釋，能不能另辟蹊徑？接下來就是請學(xué)生嘗試?yán)脭?shù)形結(jié)合的思想解決問題，從而引入正題．

此例以問題為驅(qū)動，首先通過巧布“陷阱”，即采用學(xué)生在不等式學(xué)習(xí)中的典型“病案”，啟發(fā)學(xué)生探討、辨析． 該問題的引入雖然會預(yù)知學(xué)生的錯誤，但主要目的在于創(chuàng)設(shè)一個導(dǎo)情引思的情境，讓學(xué)生主動地參與探索學(xué)習(xí)．

4． 利用糾錯題組，整合課程資源

課堂中的“錯誤”其價值并不在于“錯誤”本身，而在于“錯誤”背后的創(chuàng)新過程．實現(xiàn)了“錯誤”背后的創(chuàng)新價值，才真正使課堂中的“錯誤”變成了重要的課程資源，這原本就是新課程中的教育理念，也是教師高超的教學(xué)藝術(shù)所在．

學(xué)生在復(fù)習(xí)三角函數(shù)的過程中，經(jīng)常因為不注意一些隱含條件，在解題時頻頻出錯． 如同角三角函數(shù)之間的關(guān)系、正余弦函數(shù)的有界性、角度取值范圍的壓縮等，為此筆者利用以下題組，讓學(xué)生獨立練習(xí)：

案例4：糾錯題組（1）若θ在第二象限，sinθ=■，cosθ=■，求tanθ；

（2）已知3sin2α+2sin2β=2sinα，求sin2α+sin2β的最大值；

（3）已知tanA，tanB是方程x2+3■x+4=0的兩根，且A，B∈－■，■，求A+B的值．

學(xué)生的錯誤果真出現(xiàn)：（1）由于忽視同角三角函數(shù)之間的關(guān)系，學(xué)生僅得到tanθ=■，而事實上，利用sin2θ+cos2θ=1，得a=0（舍去）或a=8，故tanθ=－■；

（2）學(xué)生由sin2β=■，代入得y=－■sin2α+sinα，配方得y=－■（sinα－1）2+■，得出y的最大值為■，而事實上sinα=1時，代入條件得到sin2β=－■，顯然矛盾． 引導(dǎo)學(xué)生挖掘隱含條件sin2β≥0，從而得出0≤sinα≤■，故只有當(dāng)sinα=■時，y的最大值為■．

（3）利用韋達定理可求得tan（A+B）=■，由A+B∈（－π，π），故學(xué)生得出A+B=■或－■，而事實上，原方程的兩根均為負(fù)數(shù)，于是A，B∈－■，0，A+B∈（－π，0），故A+B=－■．

通過這些糾錯題組，不僅找到了問題癥結(jié)的所在，而且通過類比和總結(jié)，還發(fā)現(xiàn)了一些尋找隱含條件的常用方法，從而使學(xué)生能夠用更高的觀點去審視數(shù)學(xué)解題，這正是整合課程資源的價值所在．

5． 反思錯誤原因，提高數(shù)學(xué)思維能力

解題反思是對解題活動的反思，它是對解題活動的深層次的再思考，不僅僅是對數(shù)學(xué)解題學(xué)習(xí)的一般性回顧或重復(fù)，而是深究數(shù)學(xué)解題活動中涉及的知識、方法、思路、策略等，具有較強的科學(xué)研究的性質(zhì)． 所以不能認(rèn)為糾正了該題的錯誤就達到了教學(xué)的目的，還應(yīng)進一步引導(dǎo)學(xué)生反思錯誤的原因，提高自我診斷的能力，拓展學(xué)生思維的領(lǐng)域，提高數(shù)學(xué)思維能力．

案例5：求函數(shù)y=■sin2α+■+1（α∈0，■）的最小值．

學(xué)生解答1：y≥2■+1=2；學(xué)生解答2：y=■sin2α+■+■+1≥■?2■+■+1≥■+■+1=■+■，這兩種解法顯然有學(xué)生提出了質(zhì)疑：等號取不到，最后經(jīng)過思考，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了下面的解法： y=■sin2α+■+■+1≥■?2■+■+1≥■+■+1=■．

這樣解題過程到這里就戛然而止，突然急剎住學(xué)生的思維，學(xué)生除了對本題的錯誤了解以外，收獲并不大，而且學(xué)生感到本題就像玩魔術(shù)一樣，深不可測． 或許還會存在疑問，這樣的分拆是唯一的嗎？下次碰到類似的問題，是否還能分拆出來？面對這樣的疑惑，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生進行反思．

反思1：除了上述分拆，還有別的合理分拆嗎?

y=sin2α+■－■+1≥2?■－■+1≥■．

反思2：上述兩種合理分拆有什么共同的特征？

兩種合理分拆都滿足“當(dāng)sin2α=1時，y取最小值”，所以肯定會分拆出sin2α+■模塊，這也說明兩種分拆的本質(zhì)是一樣的．

反思3：為什么是“當(dāng)sin2α=1時，y取最小值”？構(gòu)造函數(shù)y=■+■+1在（0，2］上遞減，在［2，+∞）上遞增，而x=sin2α∈（0，1］，故當(dāng)sin2α=1時，y取最小值． 所以分拆y=■sin2α+■+■+1，當(dāng)■sin2α=■?圯t=■sin22α=■；或y=tsin2α+■+■－tsin2α+1，當(dāng)tsin2α=■ ?圯t=■=1．

通過這樣不斷引導(dǎo)學(xué)生反思，學(xué)生真正明白了怎樣去分拆變形，同時也引入了解決最值問題的另一種有效的解法――利用函數(shù)的單調(diào)性，比利用基本不等式更具一般性． 再進一步探究形如：y=ax+■（a>0，b>0）函數(shù)的最值或值域，會收到更好的效果． 在這一過程中，學(xué)生的數(shù)學(xué)知識與技能得以鞏固，數(shù)學(xué)思想方法得以有效滲透，數(shù)學(xué)思維能力得以優(yōu)化和發(fā)展．

篇6

立體幾何

第二十三講

空間中點、直線、平面之間的位置關(guān)系

2019年

1.(2019全國III文8）如圖，點N為正方形ABCD的中心，ECD為正三角形，平面ECD平面ABCD，M是線段ED的中點，則

A．BM=EN，且直線BM、EN

是相交直線

B．BM≠EN，且直線BM，EN

是相交直線

C．BM=EN，且直線BM、EN

是異面直線

D．BM≠EN，且直線BM，EN

是異面直線

2.（2019全國1文19）如圖，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點.

（1）證明：MN∥平面C1DE；

（2）求點C到平面C1DE的距離．

3.（2019全國II文7）設(shè)α，β為兩個平面，則α∥β的充要條件是

A．α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行

B．α內(nèi)有兩條相交直線與β平行

C．α，β平行于同一條直線

D．α，β垂直于同一平面

4.（2019北京文13）已知l，m是平面外的兩條不同直線．給出下列三個論斷：

①lm；②m∥；③l．

以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結(jié)論，寫出一個正確的命題：__________．

5.（2019江蘇16）如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分別為BC，AC的中點，AB=BC．

求證：（1）A1B1∥平面DEC1；

（2）BEC1E．

6.（2019全國II文17）如圖，長方體ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點E在棱AA1上，BEEC1.

（1）證明：BE平面EB1C1；

（2）若AE=A1E，AB=3，求四棱錐的體積．

7.(2019全國III文19）圖1是由矩形ADEB、ABC和菱形BFGC組成的一個平面圖形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°.將其沿AB，BC折起使得BE與BF重合，連結(jié)DG，如圖2.

（1）證明圖2中的A，C，G，D四點共面，且平面ABC平面BCGE；

（2）求圖2中的四邊形ACGD的面積.

8.（2019北京文18）如圖，在四棱錐中，平面ABCD，底部ABCD為菱形，E為CD的中點．

（Ⅰ）求證：BD平面PAC；

（Ⅱ）若∠ABC=60°，求證：平面PAB平面PAE；

（Ⅲ）棱PB上是否存在點F，使得CF∥平面PAE？說明理由．

9.（2019天津文17）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，為等邊三角形，平面平面，，，，

（Ⅰ）設(shè)分別為的中點，求證：平面；

（Ⅱ）求證：平面；

（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值.

10.（2019江蘇16）如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分別為BC，AC的中點，AB=BC．

求證：（1）A1B1∥平面DEC1；

（2）BEC1E．

11.（2019浙江19）如圖，已知三棱柱，平面平面,，分別是AC，A1B1的中點.

（1）證明：；

（2）求直線EF與平面A1BC所成角的余弦值.

12.（2019北京文18）如圖，在四棱錐中，平面ABCD，底部ABCD為菱形，E為CD的中點．

（Ⅰ）求證：BD平面PAC；

（Ⅱ）若∠ABC=60°，求證：平面PAB平面PAE；

（Ⅲ）棱PB上是否存在點F，使得CF∥平面PAE？說明理由．

13.（2019全國1文16）已知∠ACB=90°，P為平面ABC外一點，PC=2，點P到∠ACB兩邊AC，BC的距離均為，那么P到平面ABC的距離為___________．

14.（2019全國1文19）如圖，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點.

（1）證明：MN∥平面C1DE；

（2）求點C到平面C1DE的距離．

15.（2019天津文17）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，為等邊三角形，平面平面，，，，

（Ⅰ）設(shè)分別為的中點，求證：平面；

（Ⅱ）求證：平面；

（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值.

16.（2019浙江8）設(shè)三棱錐V-ABC的底面是正三角形，側(cè)棱長均相等，P是棱VA上的點（不含端點），記直線PB與直線AC所成角為α，直線PB與平面ABC所成角為β，二面角P-AC-B的平面角為γ，則

A．β

B．β

C．β

D．α

17.（2019浙江19）如圖，已知三棱柱，平面平面,，分別是AC，A1B1的中點.

（1）證明：；

（2）求直線EF與平面A1BC所成角的余弦值.

2010-2018年

一、選擇題

1．(2018全國卷Ⅱ)在正方體中，為棱的中點，則異面直線與所成角的正切值為

A．

B．

C．

D．

2．(2018浙江)已知平面，直線，滿足，，則“∥”是“∥”的

A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充分必要條件

D．既不充分也不必要條件

3．（2017新課標(biāo)Ⅰ）如圖，在下列四個正方體中，，為正方體的兩個頂點，，，為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直接與平面不平行的是

4．（2017新課標(biāo)Ⅲ）在正方體中，為棱的中點，則

A．

B．

C．

D．

5．（2016年全國I卷）平面過正方體ABCDA1B1C1D1的頂點A，∥平面CB1D1，平面ABCD=m，平面ABB1

A1=n，則m，n所成角的正弦值為

A．

B．

C．

D．

6．（2016年浙江）已知互相垂直的平面

交于直線l．若直線m，n滿足m∥α，nβ，則

A．m∥l

B．m∥n

C．nl

D．mn

7．（2015新課標(biāo)1）《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺，問”積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米（如圖，米堆為一個圓錐的四分之一），米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有

A．斛

B．斛

C．斛

D．斛

8．（2015新課標(biāo)2）已知、是球的球面上兩點，，為該球面上的動點．若三棱錐體積的最大值為36，則球的表面積為

A．

B．

C．

D．

9．（2015廣東）若直線和是異面直線，在平面內(nèi)，在平面內(nèi)，是平面與平面的交線，則下列命題正確的是

A．與，都不相交

B．與，都相交

C．至多與，中的一條相交

D．至少與，中的一條相交

10．（2015浙江）如圖，已知，是的中點，沿直線將翻折成，所成二面角的平面角為，則

11．（2014廣東）若空間中四條兩兩不同的直線，滿足，則下面結(jié)論一定正確的是

A．

B．

C．既不垂直也不平行

D．的位置關(guān)系不確定

12．（2014浙江）設(shè)是兩條不同的直線，是兩個不同的平面

A．若，，則

B．若，則

C．若則

D．若，，，則

13．（2014遼寧）已知，表示兩條不同直線，表示平面，下列說法正確的是

A．若則

B．若，，則

C．若，，則

D．若，，則

14．（2014浙江）如圖，某人在垂直于水平地面的墻面前的點處進行射擊訓(xùn)練，已知點到墻面的距離為，某目標(biāo)點沿墻面的射擊線移動，此人為了準(zhǔn)確瞄準(zhǔn)目標(biāo)點，需計算由點觀察點的仰角的大小（仰角為直線與平面所成角）。若，，則的最大值

A．

B．

C．

D．

15．（2014四川）如圖，在正方體中，點為線段的中點。設(shè)點在線段上，直線

與平面所成的角為，則的取值范圍是

A．

B．

C．

D．

16．（2013新課標(biāo)2）已知為異面直線，平面，平面．直線滿足，，則

A．且

B．且

C．與相交，且交線垂直于

D．與相交，且交線平行于

17．（2013廣東）設(shè)是兩條不同的直線,是兩個不同的平面，下列命題中正確的是

A．若,,,則

B．若,,,則

C．若,,,則

D．若,,,則

18．（2012浙江）設(shè)是直線，是兩個不同的平面

A．若∥，∥，則∥

B．若∥，，則

C．若，，則

D．若,

∥，則

19．（2012浙江）已知矩形，，．將沿矩形的對角線所在的直線進行翻折，在翻折過程中，

A．存在某個位置，使得直線與直線垂直

B．存在某個位置，使得直線與直線垂直

C．存在某個位置，使得直線與直線垂直

D．對任意位置，三對直線“與”，“與”，“與”均不垂直

20．（2011浙江）下列命題中錯誤的是

A．如果平面，那么平面內(nèi)一定存在直線平行于平面

B．如果平面不垂直于平面，那么平面內(nèi)一定不存在直線垂直于平面

C．如果平面，平面，，那么

D．如果平面，那么平面內(nèi)所有直線都垂直于平面

21．（2010山東）在空間，下列命題正確的是

A．平行直線的平行投影重合

B．平行于同一直線的兩個平面平行

C．垂直于同一平面的兩個平面平行

D．垂直于同一平面的兩條直線平行

二、填空題

22．(2018全國卷Ⅱ)已知圓錐的頂點為，母線，互相垂直，與圓錐底面所成角為，若的面積為，則該圓錐的體積為_____．

三、解答題

23．（2018全國卷Ⅱ）如圖，在三棱錐中，，

，為的中點．

(1)證明：平面；

(2)若點在棱上，且，求點到平面的距離．

24．（2018全國卷Ⅲ）如圖，矩形所在平面與半圓弧所在平面垂直，是上異于，的點．

(1)證明：平面平面；

(2)在線段上是否存在點，使得平面？說明理由．

25．（2018北京）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面，，=，，分別為，的中點．

(1)求證：；

(2)求證：平面平面；

(3)求證：∥平面．

26．（2018天津）如圖，在四面體中，是等邊三角形，平面平面，點為棱的中點，，，．

(1)求證：；

(2)求異面直線與所成角的余弦值；

(3)求直線與平面所成角的正弦值．

27．(2018江蘇)在平行六面體中，，．

求證：(1)平面；

(2)平面平面．

28．(2018浙江)如圖，已知多面體，，，均垂直于平面，，，，．

(1)證明：平面；

(2)求直線與平面所成的角的正弦值．

29．（2017新課標(biāo)Ⅱ）如圖，四棱錐中，側(cè)面為等邊三角形且垂直于底面，，．

(1)證明：直線∥平面；

(2)若的面積為，求四棱錐的體積。

30．（2017新課標(biāo)Ⅲ）如圖，四面體中，是正三角形，．

(1)證明：；

(2)已知是直角三角形，．若為棱上與不重合的點，且，求四面體與四面體的體積比．

31．（2017天津）如圖，在四棱錐中，平面，，，，，，．

（Ⅰ）求異面直線與所成角的余弦值；

（Ⅱ）求證：平面；

（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值．

32．（2017山東）由四棱柱截去三棱錐后得到的幾何體如圖所示，四邊形為正方形，為與的交點，為的中點，平面，

（Ⅰ）證明：∥平面；

（Ⅱ）設(shè)是的中點，證明：平面平面．

33．（2017北京）如圖，在三棱錐中，，，，，為線段的中點，為線段上一點．

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求證：平面平面；

（Ⅲ）當(dāng)∥平面時，求三棱錐的體積．

34．（2017浙江）如圖，已知四棱錐，是以為斜邊的等腰直角三角形，，，，為的中點．

（Ⅰ）證明：∥平面；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．

35．（2017江蘇）如圖，在三棱錐中，ABAD，BCBD，平面ABD平面BCD，點E、F（E與A、D不重合）分別在棱AD，BD上，且EFAD．

求證：（1）EF∥平面ABC；

（2）ADAC．

36．（2017江蘇）如圖，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱臺形玻璃容器Ⅱ的高均為32cm，容器Ⅰ的底面對角線的長為10cm，容器Ⅱ的兩底面對角線，的長分別為14cm和62cm．

分別在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均為12cm．

現(xiàn)有一根玻璃棒，其長度為40cm．（容器厚度、玻璃棒粗細均忽略不計）

（1）將放在容器Ⅰ中，的一端置于點處，另一端置于側(cè)棱上，求沒入水中部分的長度；

（2）將放在容器Ⅱ中，的一端置于點處，另一端置于側(cè)棱上，求沒入水中部分的長度．

37．（2016年山東）在如圖所示的幾何體中，D是AC的中點，EF∥DB.

（I）已知AB=BC，AE=EC.求證：ACFB；

（II）已知G，H分別是EC和FB的中點.求證：GH∥平面ABC.

38．（2016年天津）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，平面AED平面ABCD，EFAB，AB=2，BC=EF=1，AE=，DE=3，∠BAD=60o，G為BC的中點.

(Ⅰ)求證：FG平面BED；

(Ⅱ)求證：平面BED平面AED；

(Ⅲ)求直線EF與平面BED所成角的正弦值.

39．（2016年全國I卷）如圖，已知正三棱錐的側(cè)面是直角三角形，，頂點在平面內(nèi)的正投影為點，在平面內(nèi)的正投影為點，連結(jié)并延長交于點．

（I）證明：是的中點；

（II）在圖中作出點在平面內(nèi)的正投影（說明作法及理由），并求四面體的體積．

40．（2016年全國II卷）如圖，菱形的對角線與交于點，點、分別在，上，，交于點，將沿折到的位置.

(Ⅰ)證明：；

(Ⅱ)若,求五棱錐體積．

41．（2016年全國III卷）如圖，四棱錐中，底面，，，，為線段上一點，，為的中點．

（Ⅰ）證明平面；

（Ⅱ）求四面體的體積．

42．（2015新課標(biāo)1）如圖四邊形為菱形，為與交點，平面．

（Ⅰ）證明：平面平面；

（Ⅱ）若，，三棱錐的體積為，求該三棱錐的側(cè)面積．

43．（2015新課標(biāo)2）如圖，長方體中，，，，點，分別在，上，．過點，的平面與此長方體的面相交，交線圍成一個正方形．

（Ⅰ）在圖中畫出這個正方形（不必說明畫法和理由）；

（Ⅱ）求平面把該長方體分成的兩部分體積的比值．

44．（2014山東）如圖，四棱錐中，，，

分別為線段的中點.

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求證：．

45．(2014江蘇)如圖，在三棱錐中，，E，F(xiàn)分別為棱的中點．已知，

求證：（Ⅰ）直線平面；

（Ⅱ）平面平面．

46．（2014新課標(biāo)2）如圖，四棱錐中，底面為矩形，平面，為的中點．

（Ⅰ）證明：∥平面；

（Ⅱ）設(shè)二面角為60°，=1，=，求三棱錐的體積．

47．（2014天津）如圖，四棱錐的底面是平行四邊形，，,,,分別是棱,的中點．

（Ⅰ）證明:

平面；

（Ⅱ）若二面角為，

（?。┳C明：平面平面；

（ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．

48．（2013浙江）如圖，在四棱錐PABCD中，PA面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=，PA=，∠ABC=120°，G為線段PC上的點．

（Ⅰ）證明：BD面APC

；

（Ⅱ）若G是PC的中點，求DG與APC所成的角的正切值；

（Ⅲ）若G滿足PC面BGD，求

的值．

49．（2013遼寧）如圖，是圓的直徑，垂直圓所在的平面，是圓上的點．

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）設(shè)為的中點，為的重心，求證：平面．

50．（2012江蘇）如圖，在直三棱柱中，，分別是棱上的點（點D不同于點C），且為的中點．

求證：（Ⅰ）平面平面；

（Ⅱ）直線平面．

51．(2012廣東)如圖所示，在四棱錐中，平面，，是中點，是上的點，且，為中邊上的高．

（Ⅰ）證明：平面；

（Ⅱ）若，求三棱錐的體積；

（Ⅲ）證明：平面．

52．（2011江蘇）如圖，在四棱錐中，平面PAD平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分別是AP、AD的中點．

求證：（Ⅰ）直線EF∥平面PCD；

（Ⅱ）平面BEF平面PAD．

53．（2011廣東）如圖，在椎體P-ABCD中，ABCD是邊長為1的棱形，且∠DAB=60，,PB=2，E，F(xiàn)分別是BC,PC的中點．

（Ⅰ）證明：AD平面DEF；

（Ⅱ）求二面角P-AD-B的余弦值．

54．（2010天津）如圖，在五面體中，四邊形是正方形，平面，∥，=1，=，∠＝∠＝45°．

（Ⅰ）求異面直線與所成角的余弦值；

（Ⅱ）證明平面；

（Ⅲ）求二面角的正切值．

55．（2010浙江）如圖，在平行四邊形中，=2，∠=120°．為線段的中點，將沿直線翻折成，使平面平面，為線段的中點．

（Ⅰ）求證：∥平面；

（Ⅱ）設(shè)為線段的中點，求直線與平面所成角的余弦值．

專題八

立體幾何

第二十三講

空間中點、直線、平面之間的位置關(guān)系

答案部分

2019年

2019年

1.解析

如圖所示，聯(lián)結(jié)，.

因為點為正方形的中心，為正三角形，平面平面，是線段的中點，所以平面，平面，因為是中邊上的中線，是中邊上的中線，直線，是相交直線，設(shè)，則，，

所以，，

所以．故選B．

2.解析

（1）連結(jié).因為M，E分別為的中點，所以，且.又因為N為的中點，所以.

由題設(shè)知，可得，故，因此四邊形MNDE為平行四邊形，.又平面，所以MN∥平面.

（2）過C作C1E的垂線，垂足為H.

由已知可得，，所以DE平面，故DECH.

從而CH平面，故CH的長即為C到平面的距離，

由已知可得CE=1，C1C=4，所以，故.

從而點C到平面的距離為.

3.解析：對于A，內(nèi)有無數(shù)條直線與平行，則與相交或，排除；

對于B，內(nèi)有兩條相交直線與平行，則；

對于C，，平行于同一條直線，則與相交或，排除；

對于D，，垂直于同一平面，則與相交或，排除．

故選B．

4.解析

若②，過作平面，則，又③，則，又，同在內(nèi)，所以①，即.

5.證明：（1）因為D，E分別為BC，AC的中點，

所以ED∥AB.

在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB∥A1B1，

所以A1B1∥ED.

又因為ED?平面DEC1，A1B1平面DEC1，

所以A1B1∥平面DEC1.

（2）因為AB=BC，E為AC的中點，所以BEAC.

因為三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱，所以CC1平面ABC.

又因為BE?平面ABC，所以CC1BE.

因為C1C?平面A1ACC1，AC?平面A1ACC1，C1C∩AC=C，

所以BE平面A1ACC1.

因為C1E?平面A1ACC1，所以BEC1E.

6.解：（1）由已知得B1C1平面ABB1A1，BE平面ABB1A1，

故.

又，所以BE平面.

（2）由（1）知∠BEB1=90°.由題設(shè)知RtABE≌RtA1B1E，所以，故AE=AB=3，.

作，垂足為F，則EF平面，且.

所以，四棱錐的體積.

7.解析（1）由已知得ADBE，CGBE，所以ADCG，故AD，CG確定一個平面，從而A，C，G，D四點共面．

由已知得ABBE，ABBC，故AB平面BCGE．

又因為AB平面ABC，所以平面ABC平面BCGE．

（2）取的中點，聯(lián)結(jié)，.

因為，平面，所以平面，故.

由已知，四邊形是菱形，且得，故平面.

因此.

在中，，，故.

所以四邊形的面積為4.

8.解析（Ⅰ）因為平面ABCD，且平面，

所以．

又因為底面ABCD為菱形，所以．

又平面，平面，，

所以平面PAC．

（Ⅱ）因為PA平面ABCD，平面ABCD，

所以PAAE．

因為底面ABCD為菱形，∠ABC=60°，且E為CD的中點，

所以AECD．

又，所以ABAE．

又平面，平面，，所以AE平面PAB．

又平面，所以平面PAB平面．

（Ⅲ）棱PB上存在點F，且為的中點，使得CF∥平面PAE．

取F為PB的中點，取G為PA的中點，連結(jié)CF，F(xiàn)G，EG．

因為，分別為，的中點，則FG∥AB，且FG=AB．

因為底面ABCD為菱形，且E為CD的中點，

所以CE∥AB，且CE=AB．

所以FG∥CE，且FG=CE．

所以四邊形CEGF為平行四邊形，

所以CF∥EG．

因為CF平面PAE，EG平面PAE，

所以CF∥平面PAE．

9.解析

（Ⅰ）連接，易知，.又由，故，又因為平面，平面，所以平面.

（Ⅱ）取棱的中點，連接.依題意，得，又因為平面平面，平面平面，所以平面，又平面，故.又已知，，所以平面.

（Ⅲ）連接，由（Ⅱ）中平面，可知為直線與平面所成的角，

因為為等邊三角形，且為的中點，所以.又，

故在中，.

所以，直線與平面所成角的正弦值為.

10..證明：（1）因為D，E分別為BC，AC的中點，

所以ED∥AB.

在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB∥A1B1，

所以A1B1∥ED.

又因為ED?平面DEC1，A1B1平面DEC1，

所以A1B1∥平面DEC1.

（2）因為AB=BC，E為AC的中點，所以BEAC.

因為三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱，所以CC1平面ABC.

又因為BE?平面ABC，所以CC1BE.

因為C1C?平面A1ACC1，AC?平面A1ACC1，C1C∩AC=C，

所以BE平面A1ACC1.

因為C1E?平面A1ACC1，所以BEC1E.

11.（I）連接A1E，因為A1A=A1C，E是AC的中點，所以A1EAC.

又平面A1ACC1平面ABC，A1E平面A1ACC1，

平面A1ACC1∩平面ABC=AC，

所以，A1E平面ABC，則A1EBC.

又因為A1F∥AB，∠ABC=90°，故BCA1F.

所以BC平面A1EF.

因此EFBC.

（Ⅱ）取BC中點G，連接EG，GF，則EGFA1是平行四邊形．

由于A1E平面ABC，故AE1EG，所以平行四邊形EGFA1為矩形．

由（I）得BC平面EGFA1，則平面A1BC平面EGFA1，

所以EF在平面A1BC上的射影在直線A1G上.

連接A1G交EF于O，則∠EOG是直線EF與平面A1BC所成的角（或其補角）.

不妨設(shè)AC=4，則在RtA1EG中，A1E=2，EG=.

由于O為A1G的中點，故，

所以．

因此，直線EF與平面A1BC所成角的余弦值是．

12.解析（Ⅰ）因為平面ABCD，且平面，

所以．

又因為底面ABCD為菱形，所以．

又平面，平面，，

所以平面PAC．

（Ⅱ）因為PA平面ABCD，平面ABCD，

所以PAAE．

因為底面ABCD為菱形，∠ABC=60°，且E為CD的中點，

所以AECD．

又，所以ABAE．

又平面，平面，，所以AE平面PAB．

又平面，所以平面PAB平面．

（Ⅲ）棱PB上存在點F，且為的中點，使得CF∥平面PAE．

取F為PB的中點，取G為PA的中點，連結(jié)CF，F(xiàn)G，EG．

因為，分別為，的中點，則FG∥AB，且FG=AB．

因為底面ABCD為菱形，且E為CD的中點，

所以CE∥AB，且CE=AB．

所以FG∥CE，且FG=CE．

所以四邊形CEGF為平行四邊形，

所以CF∥EG．

因為CF平面PAE，EG平面PAE，

所以CF∥平面PAE．

13.

過點P作PO平面ABC交平面ABC于點O，

過點P作PDAC交AC于點D，作PEBC交BC于點E，聯(lián)結(jié)OD，OC，OE，

則

所以又,

故四邊形為矩形.

有所做輔助線可知，

所以，

所以矩形為邊長是1的正方形，則.

在中，，所以.

即為點P到平面ABC的距離，即所求距離為.

14.解析

（1）連結(jié).因為M，E分別為的中點，所以，且.又因為N為的中點，所以.

由題設(shè)知，可得，故，因此四邊形MNDE為平行四邊形，.又平面，所以MN∥平面.

（2）過C作C1E的垂線，垂足為H.

由已知可得，，所以DE平面，故DECH.

從而CH平面，故CH的長即為C到平面的距離，

由已知可得CE=1，C1C=4，所以，故.

從而點C到平面的距離為.

15.解析

（Ⅰ）連接，易知，.又由，故，又因為平面，平面，所以平面.

（Ⅱ）取棱的中點，連接.依題意，得，又因為平面平面，平面平面，所以平面，又平面，故.又已知，，所以平面.

（Ⅲ）連接，由（Ⅱ）中平面，可知為直線與平面所成的角，

因為為等邊三角形，且為的中點，所以.又，

故在中，.

所以，直線與平面所成角的正弦值為.

16.解析：解法一：如圖G為AC的中點，V在底面的射影為O，則P在底面上的射影D在線段AO上，

作于E，易得，過P作于F，

過D作，交BG于H，

則，，，

則，可得；

，可得.

解法二：由最小值定理可得，記的平面角為(顯然)，

由最大角定理可得；

解法三特殊圖形法：設(shè)三棱錐為棱長為2的正四面體，P為VA的中點，

易得，可得，，，

故選B．

17.（I）連接A1E，因為A1A=A1C，E是AC的中點，所以A1EAC.

又平面A1ACC1平面ABC，A1E平面A1ACC1，

平面A1ACC1∩平面ABC=AC，

所以，A1E平面ABC，則A1EBC.

又因為A1F∥AB，∠ABC=90°，故BCA1F.

所以BC平面A1EF.

因此EFBC.

（Ⅱ）取BC中點G，連接EG，GF，則EGFA1是平行四邊形．

由于A1E平面ABC，故AE1EG，所以平行四邊形EGFA1為矩形．

由（I）得BC平面EGFA1，則平面A1BC平面EGFA1，

所以EF在平面A1BC上的射影在直線A1G上.

連接A1G交EF于O，則∠EOG是直線EF與平面A1BC所成的角（或其補角）.

不妨設(shè)AC=4，則在RtA1EG中，A1E=2，EG=.

由于O為A1G的中點，故，

所以．

因此，直線EF與平面A1BC所成角的余弦值是．

2010-2018年

1．C【解析】如圖，連接，因為，所以異面直線與所成角等于相交直線與所成的角，即．不妨設(shè)正方體的棱長為2，則，，由勾股定理得，又由平面，可得，

所以，故選C．

2．A【解析】若，，∥，由線面平行的判定定理知∥．若∥，，，不一定推出∥，直線與可能異面，故“∥”是“∥”的充分不必要條件．故選A．

3．A【解析】由正方體的線線關(guān)系，易知B、C、D中，所以平面，

只有A不滿足．選A．

4．C【解析】如圖，連結(jié)，易知平面，所以，又，所以平面，故，選C．

5．A【解析】因為過點的平面與平面平行，平面∥平面，所以∥∥，又∥平面，所以∥，則與所成的角為所求角，所以，所成角的正弦值為，選A．

6．C【解析】選項A，只有當(dāng)或時，；選項B，只有當(dāng)時；選項C，由于，所以；選項D，只有當(dāng)或時，，故選C．

7．B【解析】由得圓錐底面的半徑，所以米堆的體積，所以堆放的米有斛．

8．C【解析】三棱錐，其中為點到平面的距離，而底面三角形時直角三角形，頂點到平面的最大距離是球的半徑，

故=，其中為球的半徑，

所以，所以球的表面積．

9．D【解析】若直線和是異面直線，在平面內(nèi)，在平面內(nèi)，是平面與平面的交線，則至少與，中的一條相交，故選A．

10．B【解析】解法一

設(shè)，，則由題意知．

在空間圖形中，連結(jié)，設(shè)=．

在中，．

過作，過作，垂足分別為．

過作，使四邊形為平行四邊形，則，

連結(jié)，則就是二面角的平面角，所以．

在中，，．

同理，，，故．

顯然平面，故．

在中，．

在中，

=

，

所以

，

所以（當(dāng)時取等號），

因為，，而在上為遞減函數(shù)，

所以，故選B．

解法二

若，則當(dāng)時，，排除D；當(dāng)時，，，排除A、C，故選B．

11．D【解析】利用正方體模型可以看出，與的位置關(guān)系不確定．選D．

12．C【解析】選項中均可能與平面平行、垂直、斜交或在平面內(nèi)，故選．

13．B【解析】對于選項A，若，則與可能相交、平行或異面，A錯誤；顯然選項B正確；對于選項C，若，，則或，C錯誤；對于選項D，若，，則或或與相交，D錯誤．故選B．

14．D【解析】作，垂足為，設(shè)，則，

由余弦定理，

，

故當(dāng)時，取得最大值，最大值為．

15．B【解析】直線與平面所成的角為的取值范圍是，

由于，，

所以的取值范圍是

16．D【解析】作正方形模型，為后平面，為左側(cè)面

可知D正確．

17．D【解析】A中可能平行、垂直、也可能為異面；B中還可能為異面；C中

應(yīng)與中兩條相交直線垂直時結(jié)論才成立，選D．

18．B【解析】利用排除法可得選項B是正確的，∥，，則．如選項A：∥，∥時，或∥；選項C：若，，∥或；選項D：若,

，∥或．

19．B【解析】過點作，若存在某個位置，使得，則面，從而有，計算可得與不垂直，則A不正確；當(dāng)翻折到時，因為，所以面，從而可得；若，因為，所以面，從而可得，而，所以這樣的位置不存在，故C不正確；同理，D也不正確，故選B．

20．D【解析】對于D，若平面平面，則平面內(nèi)的某些直線可能不垂直于平面，即與平面的關(guān)系還可以是斜交、平行或在平面內(nèi)，其余選項易知均是正確的．

21．D【解析】兩平行直線的平行投影不一定重合，故A錯；由空間直線與平面的位置關(guān)系及線面垂直與平行的判定與性質(zhì)定理可知、均錯誤，故選D．

22．【解析】由題意畫出圖形，如圖，

設(shè)是底面圓的直徑，連接，則是圓錐的高，設(shè)圓錐的母線長為，

則由，的面積為8，得，得，在中，

由題意知，所以，．

故該圓錐的體積．

23．【解析】(1)因為，為的中點，所以，且．

連結(jié)．因為，所以為等腰直角三角形，

且，．

由知，．

由，知平面．

(2)作，垂足為．又由(1)可得，所以平面．

故的長為點到平面的距離．

由題設(shè)可知，，．

所以，．

所以點到平面的距離為．

24．【解析】(1)由題設(shè)知，平面平面，交線為．

因為，平面，所以平面，故．

因為為上異于，的點，且為直徑，所以

．

又=，所以平面．

而平面，故平面平面．

(2)當(dāng)為的中點時，∥平面．

證明如下：連結(jié)交于．因為為矩形，所以為中點．

連結(jié)，因為為

中點，所以∥．

平面，平面，所以∥平面．

25．【解析】(1)，且為的中點，．

底面為矩形，，

．

(2)底面為矩形，．

平面平面，平面．

．又，

平面，平面平面．

(3)如圖，取中點，連接．

分別為和的中點，，且．

四邊形為矩形，且為的中點，

，

，且，四邊形為平行四邊形，

．

又平面，平面，

平面．

26．【解析】(1)由平面平面，平面∩平面=，，可得平面，故．

(2)取棱的中點，連接，．又因為為棱的中點，故∥．所以（或其補角）為異面直線與所成的角．

在中，，故．

因為平面，故．

在中，，故．

在等腰三角形中，，可得．

所以，異面直線與所成角的余弦值為．

(3)連接．因為為等邊三角形，為邊的中點，故，

．又因為平面平面，而平面，

故平面．所以，為直線與平面所成的角．

在中，．

在中，．

所以，直線與平面所成角的正弦值為．

27．【證明】(1)在平行六面體中，．

因為平面，平面，

所以∥平面．

(2)在平行六面體中，四邊形為平行四邊形．

又因為，所以四邊形為菱形，

因此．

又因為，∥，

所以．

又因為=，平面，平面，

所以平面．

因為平面，

所以平面平面．

28．【解析】(1)由，，，，得

，

所以．

故．

由，，，，得，

由，得，

由，得，所以，故．

因此平面．

(2)如圖，過點作，交直線于點，連結(jié)．

由平面得平面平面，

由得平面，

所以是與平面所成的角．

由，，

得，，

所以，故．

因此，直線與平面所成的角的正弦值是．

29．【解析】（1）在平面內(nèi)，因為，所以∥，

又平面，平面，故∥平面．

（2）取的中點，連結(jié)，．由及∥，

得四邊形正方形，則．

因為側(cè)面為等邊三角形且垂直于底面，平面平面=，所以，底面．因為底面，所以．

設(shè)，則，，，．取的中點，連結(jié)，則，所以．

因為的面積為，所以，解得（舍去），．于是，，．

所以四棱錐的體積．

30．【解析】（1）取的中點連結(jié)，.因為，所以．

又由于是正三角形，所以.從而平面，故BD.

（2）連結(jié)．

由（1）及題設(shè)知，所以．

在中，．

又，所以

，故.

由題設(shè)知為直角三角形，所以．

又是正三角形，且，所以．

故為BD的中點，從而到平面的距離為到平面的距離的，四面體的體積為四面體的體積的，即四面體與四面體的體積之比為1:1．

31．【解析】（Ⅰ）如圖，由已知AD//BC，故或其補角即為異面直線AP與BC所成的角．因為AD平面PDC，所以ADPD．在RtPDA中，由已知，得，故．

所以，異面直線AP與BC所成角的余弦值為．

（Ⅱ）證明：因為AD平面PDC，直線PD平面PDC，所以ADPD．又因為BC//AD，所以PDBC，又PDPB，所以PD平面PBC．

（Ⅲ）過點D作AB的平行線交BC于點F，連結(jié)PF，則DF與平面PBC所成的角等于AB與平面PBC所成的角．

因為PD平面PBC，故PF為DF在平面PBC上的射影，所以為直線DF和平面PBC所成的角．

由于AD//BC，DF//AB，故BF=AD=1，由已知，得CF=BC–BF=2．又ADDC，故BCDC，在RtDCF中，可得,在RtDPF中，可得．

所以，直線AB與平面PBC所成角的正弦值為．

32．【解析】（Ⅰ）取中點,連接，，

由于為四棱柱,

所以，，

因此四邊形為平行四邊形,

所以,

又面,平面,

所以∥平面,

（Ⅱ）．，分別為和的中點，

，

又平面，平面，

所以，

，所以，，

又，平面，

所以平面

又平面,

所以平面平面．

33．【解析】（Ⅰ）因為，，所以平面，

又因為平面，所以．

（Ⅱ）因為，為中點，所以，

由（Ⅰ）知，，所以平面．

所以平面平面．

（Ⅲ）因為平面，平面平面，

所以．

因為為的中點，所以，．

由（Ⅰ）知，平面，所以平面．

所以三棱錐的體積．

34．【解析】（Ⅰ）如圖，設(shè)PA中點為F，連結(jié)EF，F(xiàn)B．

因為E，F(xiàn)分別為PD，PA中點，所以EF∥AD且，

又因為BC∥AD，，所以

EF∥BC且EF=BC，

即四邊形BCEF為平行四邊形，所以CE∥BF，

因此CE∥平面PAB．

（Ⅱ）分別取BC，AD的中點為M，N．連結(jié)PN交EF于點Q，連結(jié)MQ．

因為E，F(xiàn)，N分別是PD，PA，AD的中點，所以Q為EF中點，

在平行四邊形BCEF中，MQ∥CE．

由為等腰直角三角形得

PNAD．

由DCAD，N是AD的中點得

BNAD．

所以

AD平面PBN，

由BC∥AD得

BC平面PBN，

那么，平面PBC平面PBN．

過點Q作PB的垂線，垂足為H，連結(jié)MH．

MH是MQ在平面PBC上的射影，所以∠QMH是直線CE與平面PBC所成的角．

設(shè)CD=1．

在中，由PC=2，CD=1，PD=得CE=，

在PBN中，由PN=BN=1，PB=得，

在中，，MQ=，

所以

，

所以，直線CE與平面PBC所成角的正弦值是．

35．【解析】證明：（1）在平面內(nèi)，因為，，所以.

又因為平面，平面，所以∥平面.

（2）因為平面平面，

平面平面=，

平面，，

所以平面.

因為平面，所以.

又，，平面，平面，

所以平面，

又因為平面，

所以．

36．【解析】（1）由正棱柱的定義，平面，

所以平面平面，．

記玻璃棒的另一端落在上點處．

因為，．

所以，從而．

記與水平的交點為，過作，為垂足，

則平面，故，

從而．

答：玻璃棒沒入水中部分的長度為16cm.

(

如果將“沒入水中部分”理解為“水面以上部分”，則結(jié)果為24cm)

（2）如圖，，是正棱臺的兩底面中心.

由正棱臺的定義，平面

，

所以平面平面，.

同理，平面平面，.

記玻璃棒的另一端落在上點處.

過作，為垂足，

則==32.

因為=

14，=

62，

所以=

，從而.

設(shè)則.

因為，所以.

在中，由正弦定理可得，解得.

因為，所以.

于是

.

記與水面的交點為，過作，為垂足，則

平面，故=12，從而

=.

答:玻璃棒沒入水中部分的長度為20cm.

(如果將“沒入水中部分”理解為“水面以上部分”，則結(jié)果為20cm)

37．【解析】（Ⅰ）證明：因，所以與確定一個平面，連接，因為

為的中點，所以；同理可得，又因為，所以平面，因為平面，．

（Ⅱ）設(shè)的中點為，連，在中，是的中點，所以，又，所以；在中，是的中點，所以，又，所以平面平面，因為平面，所以平面．

38．【解析】（Ⅰ）證明：取的中點為，連接，在中，因為是的中點，所以且，又因為，所以且，即四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面．

（Ⅱ）證明：在中，，由余弦定理可，進而可得，即，又因為平面平面平面；平面平面，所以平面.又因為平面，所以平面平面．

（Ⅲ）解：因為，所以直線與平面所成角即為直線與平面所成角.過點作于點，連接，又因為平面平面，由（Ⅱ）知平面，所以直線與平面所成角即為.在中，，由余弦定理可得，所以，因此，在中，，所以直線與平面所成角的正弦值為．

39．【解析】（Ⅰ）因為在平面內(nèi)的正投影為，所以

因為在平面內(nèi)的正投影為，所以

所以平面，故

又由已知可得，，從而是的中點.

（Ⅱ）在平面內(nèi)，過點作的平行線交于點，即為在平面內(nèi)的正投影.

理由如下：由已知可得，，又,所以，,因此平面，即點為在平面內(nèi)的正投影.

連接，因為在平面內(nèi)的正投影為，所以是正三角形的中心.

由（Ⅰ）知，是的中點，所以在上，故

由題設(shè)可得平面，平面，所以，因此

由已知，正三棱錐的側(cè)面是直角三角形且，可得

在等腰直角三角形中，可得

所以四面體的體積

40．【解析】（Ⅰ）由已知得，，

又由得，故

由此得，所以

（Ⅱ）由得

由得

所以

于是故

由（Ⅰ）知，又，

所以平面于是

又由，所以，平面

又由得

五邊形的面積

所以五棱錐體積

41．【解析】（Ⅰ）由已知得，取的中點，連接，由為中點知，.

又，故平行且等于，四邊形為平行四邊形，于是.

因為平面，平面，所以平面.

（Ⅱ）因為平面，為的中點，所以到平面的距離為．取的中點，連結(jié).由得，

.

由得到的距離為，故.

所以四面體的體積.

42．【解析】（Ⅰ）因為四邊形為菱形，所以，

因為平面，所以，故平面．

又平面，所以平面平面．

（Ⅱ）設(shè)=，在菱形中，由=120°，

可得=，=．

因為，所以在中，可得．

由平面，知為直角三角形，可得．

由已知得，三棱錐的體積．

故．

從而可得．

所以的面積為3，的面積與的面積均為．

故三棱錐的側(cè)面積為．

43．【解析】（Ⅰ）交線圍成的正方形如圖

（Ⅱ）作，垂足為，則，，．因為為正方形，所以．

于是，，．

因為長方形被平面分成兩個高為10的直棱柱，所以其體積的比值為（也正確）．

44．【解析】（Ⅰ）設(shè)，連結(jié)OF，EC，

由于E為AD的中點，，

所以,

因此四邊形ABCE為菱形，所以O(shè)為AC的中點，又F為PC的中點，

因此在中，可得.

又平面BEF，平面BEF，所以平面.

（Ⅱ）由題意知，，所以四邊形為平行四邊形，

因此．又平面PCD，所以，因此．

因為四邊形ABCE為菱形，所以.

又，AP，AC平面PAC，所以平面．

45．【解析】（Ⅰ）為中點，DE∥PA，

平面DEF，DE平面DEF，PA∥平面DEF，

（Ⅱ）為中點，，

為中點，，

，，DEEF，

，，

，DE平面ABC，

DE平面BDE，平面BDE平面ABC．

46．【解析】（Ⅰ）連接BD交AC于點O，連結(jié)EO．

因為ABCD為矩形，所以O(shè)為BD的中點。

又E為PD的中點，所以EO∥PB。

EO平面AEC,PB平面AEC，所以PB∥平面AEC.

（Ⅱ）因為PA平面ABCD，ABCD為矩形，所以AB，AD，AP兩兩垂直．

如圖，以A為坐標(biāo)原點，的方向為軸的正方向，為單位長，建立空間直角坐標(biāo)系，

則.

設(shè)，則。

設(shè)為平面ACE的法向量，

則即，

可?。?/p>

又為平面DAE的法向量，

由題設(shè)，即，解得．

因為E為PD的中點，所以三棱錐的高為．

三棱錐的體積．

47．【解析】（Ⅰ）證明：如圖取PB中點M，連接MF，AM.因為F為PC中點，

故MF//BC且MF=BC．由已知有BC//AD，BC=AD．又由于E為AD中點，

因而MF//AE且MF=AE，故四邊形AMFE為平行四邊形，

所以EF//AM，又AM平面PAB，而EF平面PAB，

所以EF//平面PAB.

（Ⅱ）（i）證明：連接PE，BE．因為PA=PD，BA=BD，而E為AD中點，

故PEAD，BEAD，所以PEB為二面角P-AD-B的平面角．在三角形PAD中，

由，可解得PE=2．

在三角形ABD中，由，可解得BE=1．

在三角形PEB中，PE=2，BE=1，，

由余弦定理，可解得PB=，從而，即BEPB，

又BC//AD，BEAD，從而BEBC，因此BE平面PBC．又BE平面ABCD，

所以平面PBC平面ABCD．

（ii）連接BF，由（i）知BE平面PBC．所以EFB為直線EF與平面PBC所成的角，

由PB=，PA=，AB=得ABP為直角，而MB=PB=，可得AM=，

故EF=，又BE=1，故在直角三角形EBF中，

所以直線EF與平面PBC所成角的正弦值為．

48．【解析】（Ⅰ）設(shè)點O為AC，BD的交點，

由AB＝BC，AD＝CD，得BD是線段AC的中垂線．

所以O(shè)為AC的中點，BDAC．

又因為PA平面ABCD，BD平面ABCD，

所以PABD．所以BD平面APC．

（Ⅱ）連結(jié)OG.由(1)可知OD平面APC，則DG在平面APC內(nèi)的射影為OG，所以∠OGD是DG與平面APC所成的角．

由題意得OG＝PA＝.

在ABC中，AC＝＝，

所以O(shè)C＝AC＝.

在直角OCD中，OD＝＝2.

在直角OGD中，tan∠OGD＝.

所以DG與平面APC所成的角的正切值為.

（Ⅲ）連結(jié)OG.因為PC平面BGD，OG平面BGD，所以PCOG.

在直角PAC中，得PC＝.

所以GC＝.

從而PG＝，

所以.

49．【解析】（Ⅰ）由AB是圓O的直徑，得ACBC．

由PA平面ABC，BC平面ABC，得PABC，

又PA∩AC=A，PA平面PAC，AC平面PAC，

所以BC平面PAC．

（Ⅱ）連OG并延長交AC與M，鏈接QM，QO.

由G為?AOC的重心，得M為AC中點，

由G為PA中點，得QMPC.

又O為AB中點，得OMBC.

因為QM∩MO=M，QM平面QMO．

所以QG//平面PBC．

50．【解析】（Ⅰ）因為是直三棱柱，所以平面ABC，又平面,所以，又因為平面，所以平面，又AD平面ADE，所以平面ADE平面.

（Ⅱ）因為，為的中點，所以．因為平面，且平面，所以又因為，平面，

，所以平面，所以AD．又AD平面，平面，所以平面．

51．【解析】（Ⅰ）平面，面

又面

（Ⅱ）是中點點到面的距離，

三棱錐的體積

，

（Ⅲ）取的中點為，連接，，

又平面面面面，

點是棱的中點

，

得：平面．

52．【證明】：（Ⅰ）在PAD中，因為E、F分別為AP，AD的中點，所以EF//PD．

又因為EF平面PCD，PD平面PCD，

所以直線EF//平面PCD．

（Ⅱ）連結(jié)DB，因為AB=AD，∠BAD=60°，

所以ABD為正三角形，因為F是AD的中點，所以BFAD．

因為平面PAD平面ABCD，BF平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，

所以BF平面PAD．又因為BF平面BEF，所以平面BEF平面PAD．

53．【解析】法一：（Ⅰ）證明：取AD中點G，連接PG，BG，BD．因PA=PD，有，在中，，有為等邊三角形，因此，所以平面PBG

又PB//EF，得，而DE//GB得AD

DE，又，所以AD

平面DEF。

（Ⅱ），為二面角P—AD—B的平面角，

在，

在，

，

法二：（Ⅰ）取AD中點為G，因為

又為等邊三角形，因此，，

從而平面PBG．

延長BG到O且使得PO

OB，又平面PBG，PO

AD，

所以PO

平面ABCD．

以O(shè)為坐標(biāo)原點，菱形的邊長為單位長度，直線OB，OP分別為軸，z軸，平行于AD的直線為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系．

設(shè)

由于

得

平面DEF．

（Ⅱ）

取平面ABD的法向量

設(shè)平面PAD的法向量

由

取

54．【解析】（Ⅰ）因為四邊形是正方形，所以//.故為異面直線與所成的角.因為平面，所以.故.

在中，=1，=，==3,

故==.

所以異面直線和所成角的余弦值為.

（Ⅱ）證明：過點作//,交于點，則.由,可得,從而,又,=,所以平面.

(Ⅲ)解：由（Ⅱ）及已知，可得=，即為的中點.取的中點，連接，則,因為//,所以//.過點作，交于，則為二面角--的平面角。

連接，可得平面,故.從而.由已知，可得=.由//,,得.

在中，,

所以二面角--的正切值為．

55．【解析】

(Ⅰ)取的中點G，連結(jié)GF，CE，由條件易知

FG∥CD，F(xiàn)G=CD．BE∥CD,BE=CD．所以FG∥BE，F(xiàn)G=BE．

故四邊形BEGF為平行四邊形，所以BF∥EG．

因為平面，BF平面，所以

BF//平面．

（Ⅱ）解：在平行四邊形,ABCD中，設(shè)BC=，則AB=CD=2，AD=AE=EB=，

連CE，因為．

在BCE中，可得CE=，

在ADE中，可得DE=，

在CDE中，因為CD2=CE2+DE2，所以CEDE,

在正三角形中，M為DE中點，所以DE.

由平面平面BCD,

可知平面BCD,

CE.

取的中點N，連線NM、NF，

所以NFDE，NF.

因為DE交于M，

所以NF平面，

則∠FMN為直線FM與平面新成角．

在RtFMN中，NF=,

MN=,

FM=，